CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ ÍT NHẤT 2 NGHIỆM

     

Tập khẳng định của hàm số f(x) là . Vày f(x) là hàm đa thức thường xuyên trên R.

Ta tất cả

*
và gồm
*
. Vì
*
với tất cả m.

Do kia luôn luôn có ít nhất 1 nghiệm trong tầm

*
với tất cả m.

Kết luận phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị m.

b).

*
(1)

Đặt

*
. Tập xác định của hàm số f(x) là . Bởi f(x) là hàm đa thức liên tiếp trên R.

Ta tất cả

*
và tất cả
*
. Từ kia suy ra
*
*
luôn có ít nhất 1 nghiệm
*

Xét ngôi trường hợp:

*

*

Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với đa số giá trị m.

c).

*
(1)

Đặt

*
. Tập xác minh của hàm số f(x) là . Vày f(x) là hàm đa thức tiếp tục trên R.

Ta có:

*
.

Ta có:

*

*
với mọi m.

luôn có ít nhất 1 nghiệm

*
với đa số m.

Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với đa số giá trị m.

d).

*
*
(1)

Đặt

*
. Tập xác định của hàm số f(x) là . Bởi vì f(x) là hàm nhiều thức thường xuyên trên R.

Chọn nghiệm, đến

*

Ta có:

*

Ta có:

*

*
luôn luôn có ít nhất 1 nghiệm
*
. Tóm lại phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với đa số giá trị m.




Bạn đang xem: Chứng minh phương trình có ít nhất 2 nghiệm

Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm:

a).

*
b).
*


LỜI GIẢI

a). Đặt

*
. Tập xác định của hàm số f(x) là . Do f(x) là hàm nhiều thức tiếp tục trên R.

Ta gồm

*
*
, nên suy ra
*
với tất cả m. Vì thế luôn có ít nhất 1 nghiệm
*
với mọi m.

b). Đặt

*
. Tập xác minh của hàm số f(x) là . Vị f(x) là hàm nhiều thức thường xuyên trên R.

Ta tất cả

*
và bao gồm
*
, phải suy ra
*
với đa số m.

Do đó luôn có ít nhất 1 nghiệm

*
với mọi m.


Chứng minh những phương trình sau có tối thiểu hai nghiệm:

a).

*
b).
*


LỜI GIẢI

a). Đặt

*
. Tập xác định của hàm số f(x) là . Bởi f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Ta bao gồm

*
,
*

*
phương trình luôn có tối thiểu 1 nghiệm
*

*
phương trình có tối thiểu 1 nghiệm
*

Từ

*
phương trình (1) luôn có tối thiểu 2 nghiệm phân biệt.


Chứng minh phương trình

*
có tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng
*


LỜI GIẢI

Đặt

*

Tập xác minh của hàm số f(x) là . Do f(x) là hàm nhiều thức tiếp tục trên R.

Ta có

*
với
*
.

*
phương trình có tối thiểu 1 nghiệm thuộc khoảng tầm
*


Chứng minh phương trình

*
có tối thiểu một nghiệm âm lớn hơn .


LỜI GIẢI

Đặt

*
. Tập xác định của hàm số f(x) là . Do f(x) là hàm đa thức liên tiếp trên R.

Ta có: , cùng

*
. Từ đó suy ra
*
. Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm thuộc khoảng .

Kết luận phương trình luôn luôn có ít nhất 1 nghiệm âm to hơn .


Cho hàm số với

*
. Minh chứng phương trình luôn luôn có nghiệm thuộc khoảng .


LỜI GIẢI

Tập khẳng định của hàm số f(x) là . Vì chưng f(x) là hàm đa thức liên tiếp trên R.

Ta gồm và

*

Theo đề bài bác có

*

Ta gồm :

*


Cho hàm số

*

a). Minh chứng

*

b). Chứng tỏ phương trình không tồn tại nghiệm thuộc khoảng tầm


LỜI GIẢI

a. Ta bao gồm với

*
*

b. Vị hàm số không liên tục trên không có nghiệm

*


6. Minh chứng rằng phương trình

*
tất cả nghiệm.


LỜI GIẢI

Đặt

*
phương trình đang cho vươn lên là
*

Hàm số

*
liên tiếp trên R.

Ta bao gồm :

*

Do

*
, suy ra phương trình
*
gồm nghiệm nằm trong
*

Vậy phương trình sẽ cho tất cả nghiệm.


7. Minh chứng các phương trình sau bao gồm nghiệm:

a)

*
b)
*
c)
*
d)
*


LỜI GIẢI

a). Đặt

*
thì thường xuyên trên R cùng
*

Hàm số liên tiếp trên R, gồm suy ra phương trình tất cả nghiệm thuộc khoảng chừng . Vậy phương trình vẫn cho có nghiệm.

b). Đặt

*
thì liên tục trên R và
*

Hàm số tiếp tục trên R, gồm suy ra phương trình gồm nghiệm thuộc khoảng tầm , suy ra phương trình tất cả nghiệm.

c). Đặt

*
thì liên tiếp trên R với
*

Hàm số liên tục trên R, tất cả suy ra phương trình gồm nghiệm thuộc khoảng tầm . Vậy phương trình đang cho gồm nghiệm.

d). Đặt

*
thì liên tục trên R với
*

Hàm số thường xuyên trên R, gồm suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng . Vậy phương trình sẽ cho có nghiệm.


10. Chứng tỏ rằng nếu như và

*
thì phương trình bao gồm nghiệm thuộc khoảng chừng
*


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì tiếp tục trên R.

Ta bao gồm

*

*
(do )

*
cho nên vì thế
*

-Với

*
phương trình đã mang đến ( kí hiệu là phương trình thay đổi
*

Suy ra

*
hoặc
*

+Nếu thì từ bỏ

*
và điều kiện suy ra
*
. Lúc đó phương trình có nghiệm là
*
, suy ra phương trình có nghiệm

+ giả dụ

*
thì
*
(vì nếu như
*
thì từ điều kiện suy ra )

suy ra phương trình tất cả nghiệm

*

Khi kia từ điều kiện cùng suy ra

*

Do đó phương trình gồm nghiệm

-Với

*
là nghiệm nằm trong .

- cùng với và

*
có tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng tầm
*

*
(vì
*
) yêu cầu phương trình gồm nghiệm

Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm thuộc khoảng tầm .


12. Minh chứng rằng với mọi số thực a, b, c phương trình

*
có tối thiểu một nghiệm.


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì liên tiếp trên R.

Không bớt tính tổng quát, trả sử

*

-Nếu

*
hoặc
*
thì
*
suy ra phương trình có nghiệm
*

-Nếu

*
thì
*
*
cho nên tồn tại thuộc khoảng
*
nhằm
*

Vậy phương trình đã cho luôn luôn có ít nhất một nghiệm.


8. Minh chứng phương trình

*
có bố nghiệm trên khoảng


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì tiếp tục trên R.

*

*

Do kia

*
từ đặc điểm của hàm số tiếp tục , suy ra có nghiệm thuộc khoảng
*
suy ra phương trình có tía nghiệm trên khoảng tầm


10. Chứng minh rằng với tất cả a, b, c phương trình

*
luôn có nghiệm.




Xem thêm: Cách Xác Định Electron Độc Thân, Electron Độc Thân

LỜI GIẢI

Đặt

*
thì liên tiếp trên R.

Ta có: nhằm

*
nhằm
*

Như vậy gồm

*
nhằm
*
suy ra phương trình gồm nghiệm
*
vậy phương trình đang cho luôn luôn có nghiệm.


11. Chứng tỏ rằng với mọi a, b, c phương trình

*
có tối thiểu hai nghiệm phân biệt.


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì tiếp tục trên R.

Ta có:

*

để

*
để
*

Do kia

*
suy ra phương trình tất cả nghiệm trong khoảng

*
suy ra phương trình tất cả nghiệm trong khoảng mà các khoảng cùng không giao nhau, cho nên phương trình có tối thiểu hai nghiệm phân biệt.


12. Minh chứng rằng phương trình

*
gồm nghiệm cơ mà

*


LỜI GIẢI

Cách 1: Đặt

*
ta tất cả phương trình
*

Ta chứng tỏ phương trình gồm nghiệm

*

Đặt

*
phương trình trở thành:

*

*

Ta chứng tỏ có nghiệm trong tầm

*

Đặt

*
thì
*
tiếp tục trên R.

Ta gồm

*

Nên

*

*

Do kia

*

Suy ra

*
vậy phương trình có nghiệm
*
từ đó suy ra điều đề xuất chứng minh.

Cách 2: (sử dụng lượng giác)

Từ công thức

*

Do đó

*
giỏi
*
cùng với
*

Từ bí quyết này suy ra:

*

Nghiệm của phương trình đã cho có thể tìm được dưới dạng :

*
, sao để cho
*

Đặt

*
, phương trình đã mang lại trở thành:

*

*

*

Lấy

*
ta được
*
cùng nghiệm
*
vừa lòng điều kiện đã nêu.


Chứng minh rằng phương trình

*
có ba nghiệm thực phân biệt. Hãy tìm kiếm 3 nghiệm đó.


Đặt

*
; tập xác minh
*
suy ra hàm số liên tiếp trên . Ta có
*
suy ra
*
. Trường đoản cú 3 bất đẳng thức này và tính thường xuyên của hàm số suy ra pt có tía nghiệm phân biệt thuộc
*
. Đặt
*
ráng vào pt ta được:

*
, kết phù hợp với
*
ta được
*
. Do đó phương trình đã cho bao gồm 3 nghiệm:

*
.


Cho phương trình:

*
(
*
là ẩn, là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của phương trình đã đến có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt.


LỜI GIẢI

Đặt

*
ta được xác minh và liên tiếp trên .

Ta bao gồm

*

Do đó ta được

*
bắt buộc phương trình bao gồm nghiệm ở trong
*
suy ra phương trình gồm 3 nghiệm phân biệt.


Tìm n số nguyên dương nhỏ dại nhất làm thế nào cho phương trình có nghiệm.


Ta gồm

*
. Đặt
*
.

Điều kiện nhằm hàm số khẳng định

*
.

Nếu n lẻ: hàm số khẳng định

*
.

Nếu n chẵn: Hàm số khẳng định

*
. Khi đó là hàm số chẵn trên tạp xác định của nó nên nếu phương trình gồm nghiệm
*
thì cũng có nghiệm
*
. Vì vậy ta chỉ cần xét trường phù hợp
*
.

Ta tất cả

*

Ta gồm

*
*
. Vết xảy ra khi
*
hệ này vô nghiệm. Vì thế
*

*
phương trình vô nghiệm lúc
*
.

Với ta tất cả

*
.

Có ,

*
.

*
. Trường đoản cú đó gồm
*
(1).

Hàm số xác minh và tiếp tục trên

*
cho nên hàm số f(x) thường xuyên trên đoạn
*
(2). Từ (1) với (2) suy ra phương trình có tối thiểu một nghiệm trong khoảng
*
.

Kết luận là số nguyên dương nhỏ nhất làm sao cho phương trình bao gồm nghiệm.


Cho hàm số

*

a). Chứng minh phương trình bao gồm nghiệm .

b). Ngoại trừ

*
cùng
*
hãy chứng tỏ
*
.


LỜI GIẢI

Ta tất cả

*
*
buộc phải
*
(1). Vì hàm số xác định và tiếp tục trên R phải nên hàm số f(x) liên tục trên đoạn
*
(2). Từ (1) cùng (2) suy ra phương trình có tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng .

Ta tất cả

*
. Vì là nghiệm của phương trình nên
*
.

Đặt

*
do
*
*
.

Áp dụng định lý Cauchy mang đến hai số không âm

*
cùng 3 ta tất cả
*
.

Dấu xẩy ra

*
.


Chứng minh khi

*
thì phương trình
*
có cha nghiệm dương phân biệt.


LỜI GIẢI

Đặt

*

*
.

Ta tất cả

*
,
*
,
*
,
*
. Trường đoản cú đó bao gồm
*
(1). Vì chưng hàm số thường xuyên và xác định trên R cần hàm số thường xuyên trên những đoạn
*
*
*
(2). Từ bỏ (1) với (2) suy ra phương trình có cha nghiệm dương rành mạch lần lượt thuộc các khoảng
*
*
*
.


Cho

*
cùng
*
thỏa
*
. Minh chứng rằng phương trình sau gồm nghiệm:
*
.


LỜI GIẢI

Đặt

*
. Có hàm số f(x) tiếp tục trên đoạn
*
(1).

Ta gồm

*

*
.

*

*
.

*
(2).

Từ (1) và (2) suy ra phương trình gồm nghiệm

*
.


Chứng minh với đa số tham số m phương trình sau luôn luôn có nghiệm thực:

*


LỜI GIẢI

Đặt

*
.

Ta có

*
*
buộc phải (1). Bởi hàm số f(x) xác minh và thường xuyên trên R bắt buộc f(x) liên tục trên đoạn
*
(1). Từ (1) với (2) suy ra phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng tầm .


Chứng minh rằng phương trình

*
có tía nghiệm phân biệt với tất cả giá trị của tham số m.


Đặt

*
. Ta có:

*
.

*
.

*
.

*
.

Từ đó ta tất cả

*
(1). Hàm số f(x) xác minh và liên tiếp trên R cho nên f(x) tiếp tục trên những đoạn
*
(2). Trường đoản cú (1) và (2) suy ra phương trình có cha nghiệm tách biệt lần lượt thuộc những khoảng
*
.


Chứng minh phương trình có tối thiểu 2 nghiệm với

*
m,n,p
*
.


Xét phương trình: (1)

Xét hàm số:

*

*
*
sao cho
*
.

*
*
sao để cho
*

*

Hàm số f(x) tiếp tục trên những đoạn

*
với
*

*

*
phương trình có tối thiểu 1 nghiệm
*
và ít nhất 1 nghiệm
*
.

Vậy phương trình có tối thiểu 2 nghiệm.

*




Xem thêm: Vì Sao Sông Ngòi Nước Ta Lại Có Hai Mùa Nước Khác Nhau Rõ Rệt ?

Cho phương trình:

*

a). Với

*
chứng minh rằng phương trình có tối thiểu hai nghiệm phân biệt.

b). Cùng với

*
, mang sử phương trình gồm nghiệm, chứng tỏ


LỜI GIẢI

a)

Đặt

*
liên tiếp trên R.

Ta có:

*

Mặt khác

*
, phải tồn tại 2 số
*
*
sao cho
*
*
. Vì vậy
*
. Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm rành mạch thuộc hai khoảng
*
với
*
.

b).

*
điện thoại tư vấn
*
là nghiệm của phương trình (